Die folgende Themen sind nicht als exakte Formulierung für eine Facharbeitsthema zu verstehen, sondern umreißen nur Themenkomplexe, aus denen sich eine Fülle von Einzelthemen ergeben können. Die der Überschrift folgenden Stichworte geben Unterrichtenden Hinweise bzw. Bezugspunkte zu den jeweiligen Unterichtsinhalten, zeigen also Gelegenheiten auf, interessierten Schülerinnen und Schülern versteckte oder auch deutliche Hinweise zu geben, dass der angesprochene Ausblick eins oder mehrere noch zu konkretisierende Facharbeitsthemen bietet.(Vergl. Themenfindung).

Typen von Facharbeiten:

• Typ 1: Erarbeitung und Darstellung eines neuen Sachverhalts/einer Theorie mit Def., Zusammenhängen, Beweisen
• Typ 2: Erweiterung, Vertiefung, Verallgemeinerung eins bekannten Zusammenhangs
• Typ 3: Thema mit stark geschichtlichem Hintergrund, Biographie ...
• Typ 4: Explorieren, Klassifizieren, Systematisieren eines bestimmten Zusammenhangs unter neuen Aspekten mit Hilfe von DGS, CAS oder anderen Werkzeugen
• Typ 5: Untersuchung, Experiment konzipieren, durchführen und auswerten unter verständlicher Darstellung der verwendeten Methoden
• Typ 6: Erstellung eines mathematischen Modells für eine bestimmte Alltagssituation
• Typ 7: Erstellung eines Lehrgangs, Hypertexts, Lerneinheit (für die Mitschüler) zu einem bestimmten, neuen Thema am Rande des Curriculums
• Typ 8: Lösung eines konkreten Anwendungsproblems mit Dokumentation der zur Lösung verwendeten mathematischen Zusammenhänge und Grundlagen
• Typ 9: Perspektivwechsel: Von den Diszipinen Wirtschaft oder Sozialwissenschaften oder Architektur wird auf eine Auswahl sich ergebene mathematische Probleme und Lösungen geschaut
• Typ 10: Anwendungen zu einem ausgewählten Thema aus der Mathematik/bestimmten mathematischen Kernidee
• Typ 11: Historische Rechen- und Zeichengeräte, ihre Funktionsweise, Grenzen und Verwendungszwecke
• Typ 12: Erstellung eines Programms, interaktiven Anwendung zur Lösung, Visualisierung mathem. Zusammenhänge (fächerübergreifend -> vergl. Bewertung)
• Typ 13: Reflexion über ein bereits bekanntes Thema, z.B. der Sek I, unter allgemeineren, besonderen, didaktischen Gesichtspunkten

  Einige dieser Grundtypen werden auch in ähnlicher Form in den NRW-Lehrplänen aufgezählt. Natürlich sind auch Mischformen denkbar und sinnvoll.

  Eine weitere Zugangsmöglichkeit ist der Weg über Themenkomplexe innerhalb der , die neu, nicht (mehr) lehrplanrelevant, interessant, anderartig, reich an Entdeckungsmöglichkeiten oder einfach so gestaltet sind, dass Gymnasialschüler sie verstehen können sind.

  Die folgende Themen sind nicht als exakte Formulierung für eine Facharbeitsthema zu verstehen, sondern umreißen nur Themenkomplexe, aus denen sich eine Fülle von Einzelthemen ergeben können (je nach Art der Eingrenzung oder Wahl des Typs). Die der Überschrift folgenden

  Stichworte geben Unterrichtenden Hinweise bzw. Bezugspunkte zu den jeweiligen Unterichtsinhalten, zeigen also auch Gelegenheiten für den Unterricht auf, interessierten Schülerinnen und Schülern versteckte oder auch deutliche Hinweise auf noch weiter zu noch zu konkretisierende Facharbeitsthemen anzubieten (vergl. Themenfindung).
  

Gute Einstiegspunkte (WWW, Literatur)- eher gedacht für Lehrerinnen und Lehrer, die die Schülerinnen und Schüler ja bei der Themenfindung und Gliederung und ihrer Arbeit beraten, sind ebenfalls - ohne Anspruch auf Vollständigkeit - angeben, soweit sie mir als besonders hilfreich bekannt sind.

a) aus der Analysis:

• Optimierung als mathematisches Prinzip
  Theorie und Praxisbeispiele mit geometrischem, informatorischen und wirtschaftlichen Bezug (für den Lehrer: nicht nur Extremwertaufgaben wie im Unterricht, sondern z.B. auch geometrische Betrachtungen, lineares Optimieren, quadr. Fkt. ...; Schülerinnen und Schüler müßten selbständig eine solche Eingrenzung , die sinnvoll ist, finden können.
  Literatur: Schupp, Optimierung, BI-Verlag, Optimierung als Thema im Modellversuch SelMa
  
  
• Approximation von Kurvenverläufen- Splines und andere Näherungspolynome (für den Lehrer: im Anschluss an Steckbriefaufgaben oder dann, wenn Taylorentwicklung gemacht wird als Vorbereitung) ; spezieller auch Bezierkurven; eigenet sich besonders für Schülerinnen und Schüler, die gerne mit einem CAS arbeiten. eigentlich müßte dann aber das Thema eingeschränkt werden, bzw. bereits vorher im Unterricht kurz behandelt worden sein. es gibt dazu auch Materialien im WWW, z.B. eine Staatsexamensarbeit (eine UR aus dem LK Lin. Algebra/analyt. Geometrie) und ein zugehöriges Programm zu Erzeugung von Bezierkurven. In fachdidt. Zeitschriften gibt es ebenfalls eine Fülle von Artikel dazu. Bei der Bewertung ist bei einer solchen Thematik die besondere, erbrachte Eingenleitung des Schülers dann genau zu betrachten.
  
  
• "Baupläne mit Strömungprofilen- Wie kommt die Kurve in den Computer?" Eine recht konkret gestellte Aufgabe; Schüler, die mit einem CAS umgehen können, können viel ausprobieren und stellen fest, dass die Bearbeitung über eine einfache Steckbriefaufgabe nicht zur optimalen Darstellung führt; mathematisch steckt dahinter die Theorie der Splines. Literaturstartpunkt. Materialien für einen realtitätsbezogenen Mathematikunterricht, Band 6, franzbecker Verlag)
  
  
• Wirtschaftgutachten erstellen. Eine sehr anwendungsbezogene Aufgabe, die eine Übertragung der Ergebnisse der Kurvendiskussion auf wirtschaftswissenschaftliche relevante Fragestellungen erfordert, die auch erst einmal allgemeiner und vollständig sein können, aber in jedem Fall auf ein konkrets, nicht tiviales konkretes Beispiel bezogen sein sollen. Schulbuchfunktionen sind leider von dieser Art. Wie man an realistischere Funktionen kommen kann, bleibt zu klären?! geeignet wegen eines größeren theoretischen Teils auch auch für GK-Schüler. Wie so etwas aussehen könnte, zeigen z.B. Materialien des Keppler-Gymnasiums in Ibbenbüren)
  
  
• Methoden der numerischen Integration - von einfachen Flächenformeln zu verschiedenen numerischen Methoden - auch unter Verwendung des PC (für den Lehrer: Riemann-Integrierbarkeit genauso wie Berechnungen zum Kreis, Dreieck, etc., Trapez-Methode etc. an selbstgewählten Beispielen, ggf. Funktionsklasse vereinbaren; im Anschlus an die Integralrechnung, oder Visualisierungen im WWW; Einbeziehung der FA in den Unterricht unbedingt sinnvoll, vergl. "in den Unterricht tragen?")
  
  
• Anwendungen aus der Integralrechnung: Bogenlänge, Flächenmantel und Schwerpunkte (Formeln herleiten, an Beispiele anwenden; Kiplersche Faßregel, Volumina von bekannten Körpern, ..., aus dem Bereich der Kunst ...) Schüler mit Physik haben vermutlich eher Interesse an diesem Thema; geeignet auch für schwächere Schüler, die zu den verschiedenen Teilbereichen immer wieder neue Zugänge erhalten und kein total in sich geschlossenes, aufeinander aufbauendes Thema erhalten)
  
  
• Untersuchung von Kegelschnitten bzw. Kegelschnittscharen und Ortslinien
  Von Kreis über Ellipse zu Kegelschnittscharen (vergl. anschauliche Analysis II, S. 186ff aus dem Diesterweg-Verlag). Arbeit mit einer Dynamischen Geometriesoftware wie Cabri, Cinderella, DynaGeo ... wie auch mit CAS unbedingt empfohlen. Umfang bzw. genaues Thema richtet sich danach, ob und was im Unterricht behandelt wurde. Es gibt auch im WWW viele Anregungen dazu, z.B. auf der Seite von D. Haftendorn oder dem Atlas der interaktiven Kurven. DieBehandlung sollte in jedem Fall eine Auswahl algebraischer Kurven sein, der nach einem bestimmten Kriterium getroffen wurde und über eine bloße Erzeugung von Kurven natürlich deutlich hinausgehen.
  
  
• Polarkoordinaten und ihre Verwendung zur Darstellung von Ortslinien und anderen Kurven
  Falls nicht behandelt, Grundlagen, erste Beispiele, Anwendungen z.B. Spiralen, auch Erzeugung von Ortslinen mit dynamischer Geometriesoftware möglich, wünschenwert; Einstieg z.B. im Internet über das Buch von J. Heitzer, Spiralen, Klett Verlag .
  
  
• Grenzwerte von Zahlenfolgen und ihre zentrale Stellung in der Analysis (für den Lehrer: auch geschichtliche Aspekte, Beispiele für Zahlenfolgen, Grenzwert-Betrachtungen, Folgen bei Stetigkeit und Diff'barkeit, Integral, Thema für einen guten Schüler, dem übergreifende Betrachtungen besonders liegen).

  b) Lineare Agebra/Analytische Geometrie (wird noch weiter ausgebaut)

• Verschlüsselungsverfahren
  Nachrichten in Matrixform darstellen und mit Hilfe von Matrizen ver- und entschlüsseln (Problem der Invertierung von Matrizen); weitere Hinweise unter http://www.ti.com/calc/deutschland/pdf/mat/kleifeld01.pdf)
  
  
• Bezierkurven bei der Bildbearbeitung - was steckt mathematisch dahinter?
  Es gibt diverse Veröffentlichungen in den mathematikdidaktischen Zeitschriften dazu, z.B. D. Brandt:Was sind eigentlich Bézierkurven? Mathematik in der Schule Heft 4, 1988 S. 239 -250, W. Schmidt: Mathematikaufgaben, Anwendungen aus der modernen Technik und Arbeitswelt Verlag Klett, Stuttgart 1993 S. 52 - 53 oder J. Meyer: Ein Weg zu Bézier-Kurven in Mathematik in der Schule 38. Jg, Heft 5, Sept./Okt. 2000.
  
  
• Theorie der LGS und Matrizen am Beispiel magischer Quadrate
  
  
• Thema zu Markoff-Ketten
  Wenn das Thema im LK nicht behandelt wurde; Literatur: Materialien für den Analysis-Unterricht, Stark Verlag

  c) Modellbildung

• eine Fülle von interessanten Einzelthemen, zu denen ein mathematisches Modell, ggf. mit Hilfe eines Modellbildungswerkzeugs wie Dynasys, konstruiert werden soll entwickelt im Fachbereich Mathematik/Informatik der Universität Osnabrück